Adjoints, Schiefkörper und algebraische Matroide

Kromberg, Stephan (1995) Adjoints, Schiefkörper und algebraische Matroide. PhD thesis.

Abstract

Im Mittelpunkt des ersten Teils der Arbeit steht der zweite Dualitätsbegriff der Matroidtheorie, der Begriff des Adjoints eines geometrischen Verbandes. Es ist bekannt, daß iterierte Adjointbildung gegen eine projektive Geometrie konvergiert, so daß die Untersuchung von Adjoints Einsicht in geometrische Gründe für die Nichtlinearität von Matroiden gibt. Wir zeigen, daß Copunkterweiterungen durch Coparallele für (orientierte) Matroide vom Rang 3 stets auf (orientierte) Matroide mit Adjoint führen und geben erstmalig ein orientierbares Matroid an, das einen orientierten Adjoint besitzt, sodass jedoch jeder Adjoint dieses Matroids selbst keinen Adjoint besitzt. Ein weiterer Schwerpunkt der Arbeit sind lineare Darstellungen von (orientierten) Matroiden über (geordneten) Schiefkörpern. Unsere Wiederentdeckung von (geordneten) Schiefkörper ermöglicht uns die Konstruktion eines (orientierten) Adjoints zum Dual des Non-Pappus-Matroids und die Beantwortung einer Frage von J. Richter-Gebert, der nach der Existenz eines Adjoints zu einem bestimmten orientierten Matroid gefragt hatte. Wir zeigen, daß jenes Matroid linear über einem geordneten Schiefkörper ist und daher einen Adjoint besitzt. Im letzten Teil der Arbeit behandeln wir algebraische Darstellungen von Matroiden. Der systematische Aufbau der Theorie gestattet uns, neue - meist kürzere - Beweise für einige bekannte Resultate zu algebraischen Matroiden zu geben. Wir zeigen, daß die stärkste bekannte kombinatorische Eigenschaft algebraischer Matroide nicht hinreichend dafür ist, daß ein Matroid algebraisch ist, und diskutieren einen aussichtsreichen Kandidaten für die (negative) Entscheidung der Frage nach der Algebraizität des Duals eines algebraischen Matroids. Zum Abschluß geben wir ein auf Gröbner-Basen beruhendes algorithmisches Verfahren an, das zu einer gegebenen algebraischen Darstellung eines Matroids das dargestellte Matroid bestimmt.


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ZAIK Number: zpr95-211
Depositing User: Archive Admin
Date Deposited: 02 Apr 2001 00:00
Last Modified: 19 Dec 2011 09:45
URI: http://e-archive.informatik.uni-koeln.de/id/eprint/211